Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Schritt 2

Um $\frac{x - 1}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 5}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(x - 1) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $6 x$ von $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.5

Addiere $- 20$ und $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$