Algebravorstufe Beispiele

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 (y) - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + (4 - 6) y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + 4 y - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 y + 2}{(3 y^{2} + 4 y) - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 y + 2}{y (3 y + 4) - 2 (3 y + 4)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y + 4$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + 1 y - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + (- 3 + 4) y - 4}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} - 3 y + 4 y - 4}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(3 y^{2} - 3 y) + 4 y - 4}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y (y - 1) + 4 (y - 1)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Schritt 3

Um $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ mit $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ mit $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ um.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)$ um.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(9 y + 2) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y (y - 1) + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{9 (y \cdot y) + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{9 y^{2} + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 9 y$ und $2 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y + 7 \cdot - 2}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.5

Addiere $- 7 y$ und $7 y$ .

$\frac{9 y^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.6

Addiere $9 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{9 y^{2} - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $14$ von $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.8

Schreibe $9 y^{2} - 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.8.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 y)}^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{{(3 y)}^{2} - 4^{2}}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 6.8.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 4$ .

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y - 4}{(y - 1) (y - 2)}$