Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 4 x - 5}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 4 x - 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{(x - 1) x}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) x$ um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x (x - 1)}$

Schritt 6.4

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)}$