Finite Mathematik Beispiele

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 2$ und $- 2 x$ neu an.

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.3.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache $2 \log (x - 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Schritt 2.3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Forme um.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 2.4.1.3

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 2.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 2.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.4.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 2.4.1.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 2.4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Schritt 2.4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Schritt 2.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Schritt 2.4.3.2.2

Addiere $- 2 x + 1$ und $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Schritt 2.4.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 4 - 1$

Schritt 2.4.4.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Schritt 2.4.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.4.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Schritt 3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, 2, 1$

Schritt 3.2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

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Schritt 3.2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.8.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.1.3

Die linke Seite $0.48$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.3.3

Die linke Seite $- 7$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.10.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Schritt 3.2.10.4.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 2$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x > \frac{5}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 6