Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{2 n^{2} - 1}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 n^{2} - 1}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 n^{2} - 1 < 0$

Schritt 2

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 n^{2} < 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 n^{2} < 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 n^{2} < 1$ durch $2$ .

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $n^{2}$ durch $1$ .

$n^{2} < \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| n | < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$| n | < \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5

Schreibe $| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$n \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $n$ nicht negativ ist.

$n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$n < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $n$ negativ ist.

$- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n \geq 0 \\ - n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ und $n \geq 0$ .

$0 \leq n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7

Löse $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ , wenn $n < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- n}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n}{1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$ .

$n > - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ als $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ um.

$n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ und $n < 0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5