Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{1 + \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \sqrt{x} < 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x} < - 1$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x < {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x < 1$

Schritt 3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $1 + \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 3.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 3.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \sqrt{- 2} < 0$

Schritt 3.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 3.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \sqrt{0.5} < 0$

Schritt 3.6.2.3

Die linke Seite $1.70710678$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \sqrt{4} < 0$

Schritt 3.6.3.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 3.7

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 - \sqrt{x}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \sqrt{x} < 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x} < - 1$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.5

Vereinfache.

$x < {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x < 1$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $1 - \sqrt{x}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 1$

Schritt 6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0, x > 1$

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Schritt 7