Finite Mathematik Beispiele

$h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ als Gleichung.

$y = {(3 x - 3)}^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(3 y - 3)}^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 y - 3)}^{7} = x$ um.

${(3 y - 3)}^{7} = x$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 y - 3 = \sqrt[7]{x}$

Schritt 3.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \sqrt[7]{x} + 3$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sqrt[7]{x} + 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sqrt[7]{x} + 3$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$ die Umkehrfunktion von $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $h^{- 1} (h (x)) = x$ ist und $h (h^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $h^{- 1} (h (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h^{- 1} (h (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{{(3 x - 3)}^{7}}}{3} + 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 x - 3}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 3$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x) - 3}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x) + 3 (- 1)}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 1)$ heraus.

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x - 1)}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x - 1)}{3} + 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $h (h^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (h^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) - 3)}^{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3}) + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3}) + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 3 - 3)}^{7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[7]{x} + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $\sqrt[7]{x}$ und $0$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x}$ als $x^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{7}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{7}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x$

Schritt 5.3.4.2.5

Vereinfache.

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $h^{- 1} (h (x)) = x$ und $h (h^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ .

$h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$