Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ als Gleichung.

$y = \frac{- 2}{x} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 2}{y} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 2}{y} - 1 = x$ um.

$\frac{- 2}{y} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{- 2}{y} = x + 1$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{y} = x + 1$

Schritt 3.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{y} = x + 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{y} = x + 1$ mit $y$ .

$- \frac{2}{y} y = x y + 1 y$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Schritt 3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Schritt 3.5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 = x y + 1 y$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 = x y + y$

Schritt 3.6

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $x y + y = - 2$ um.

$x y + y = - 2$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $y$ aus $x y + y$ heraus.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x + y = - 2$

Schritt 3.6.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y x + y = - 2$

Schritt 3.6.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y x + y \cdot 1 = - 2$

Schritt 3.6.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 1$ heraus.

$y (x + 1) = - 2$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) = - 2$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) = - 2$ durch $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{x + 1}$

Schritt 3.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{x + 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{(\frac{- 2}{x} - 1) + 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x} + 0}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\frac{- 2}{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x}}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{- \frac{2}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (- \frac{x}{2}))$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Schritt 5.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{2}{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = \frac{- 2}{- \frac{2}{x + 1}} - 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 (- \frac{x + 1}{2}) - 1$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + 1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 \frac{- (x + 1)}{2} - 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 (- 1) (\frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 1 (x + 1) - 1$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$