Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y^{5}} = x$ um.

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{5}, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{5}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{5}} = x$ mit $y^{5}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{5}} = x$ mit $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x y^{5}$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{5} = 1$ um.

$x y^{5} = 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{5} = 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{5} = 1$ durch $x$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{5}$ durch $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ als $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 3.4.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Schritt 3.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Schritt 3.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt[5]{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Schritt 3.4.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Schritt 3.4.4.4.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Schritt 3.4.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 3.4.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 3.4.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 3.4.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.4.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.4.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Schritt 3.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ als $\sqrt[5]{x^{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Schritt 5.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x^{5}}$ an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Schritt 5.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Schritt 5.2.7

Schreibe $1$ als $1^{5}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Schritt 5.2.8

Schreibe $x^{20}$ als ${(x^{4})}^{5}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Schritt 5.2.9

Schreibe $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ als ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Schritt 5.2.10

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.11.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Schritt 5.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Schritt 5.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ an.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ als $x^{4}$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{4}}$ als $x^{\frac{4}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Schritt 5.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Schritt 5.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$