Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ gleich $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 25 x$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $5$ aus $- 30$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Schritt 2.1.5.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Schritt 2.1.5.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ heraus.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $- x^{3} - 5 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 2.1.6.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.6.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Schritt 2.1.6.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Schritt 2.1.6.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Schritt 2.1.6.1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Schritt 2.1.6.1.3.5

Addiere $1$ und $5$ .

$6 - 6$

Schritt 2.1.6.1.3.6

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 2.1.6.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Schritt 2.1.6.1.5

Dividiere $- x^{3} - 5 x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Schritt 2.1.6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Schritt 2.1.6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 2.1.6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 2.1.6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Schritt 2.1.6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 2.1.6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 2.1.6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + x - 6$

Schritt 2.1.6.1.6

Schreibe $- x^{3} - 5 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.9.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.11

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.13

Vereinfache.

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Schritt 2.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Schritt 2.1.14

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.15.1

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.15.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.15.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Schritt 2.1.15.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.15.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 5$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{5}$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - 1$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 6$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 1$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 6$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3