Finite Mathematik Beispiele

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $0$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ des Punktes.

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ um.

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.2

Multipliziere $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1.6.3.1

Multipliziere $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1.6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.4

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.3

Addiere $- 5 \sqrt{5}$ und $5 \sqrt{5}$ .

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.3.2.4

Addiere $20$ und $0$ .

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.6.4

Dividiere $20$ durch $20$ .

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.1.1.7

Vereinfache.

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

Schritt 2.3.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$