Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x - i y}$

Schritt 1

Um $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{x - i y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ mit $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x - i y}$ mit $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{(x - i y) {(1 - i)}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ um.

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(1 + i)}^{2}$ als $(1 + i) (1 + i)$ um.

$\frac{(1 + i) (1 + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + i) (1 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 (1 + i) + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{(1 + i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $i i$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i^{1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + i + i + i^{1 + 1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{2}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(1 + i + i - 1) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{(0 + i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.3

Addiere $0$ und $i$ .

$\frac{(i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.3.4

Addiere $i$ und $i$ .

$\frac{2 i (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 i x + 2 i (- i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.5

Multipliziere $2 i (- i y)$ .

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 i x - 2 i (i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.5.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 i x - 2 i^{1 + 1} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 i x - 2 i^{2} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 i x - 2 \cdot - 1 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.7

Schreibe ${(1 - i)}^{2}$ als $(1 - i) (1 - i)$ um.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 ((1 - i) (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.8

Multipliziere $(1 - i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 (1 - i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.2

Mutltipliziere $- i$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4

Multipliziere $- i (- i)$ .

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Schritt 5.9.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1}))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{1 + 1})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.4.6

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - 1)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (0 - i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.3

Subtrahiere $i$ von $0$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.9.4

Subtrahiere $i$ von $- i$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 i x + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.11

Faktorisiere $2$ aus $2 i x + 2 y - 4 i$ heraus.

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Schritt 5.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 i x$ heraus.

$\frac{2 (i x) + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (i x) + 2 (y) - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.11.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 i$ heraus.

$\frac{2 (i x) + 2 (y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.11.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (i x) + 2 (y)$ heraus.

$\frac{2 (i x + y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Schritt 5.11.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (i x + y) + 2 (- 2 i)$ heraus.

$\frac{2 (i x + y - 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$