Finite Mathematik Beispiele

$82000 = 10 x + 6 y + 4 z$ , $47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $10 x + 6 y + 4 z = 82000$ um.

$10 x + 6 y + 4 z = 82000$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y + 4 z = 82000 - 10 x$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = 82000 - 10 x - 4 z$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$6 y = 82000 - 10 x - 4 z$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 82000 - 10 x - 4 z$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 82000 - 10 x - 4 z$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{82000}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{82000}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{82000}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{82000}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{82000}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $82000$ und $6$ .

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $82000$ heraus.

$y = \frac{2 (41000)}{6} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 41000}{2 \cdot 3} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 41000}{2 \cdot 3} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 10 x}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $6$ .

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y = \frac{41000}{3} + \frac{2 (- 5 x)}{6} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{41000}{3} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (3)} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{41000}{3} + \frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 5 x}{3} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 5 x}{3} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} + \frac{- 5 x}{3} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{- 4 z}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 1.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 z$ heraus.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{2 (- 2 z)}{6}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{2 (- 2 z)}{2 (3)}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{2 (- 2 z)}{2 \cdot 3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 1.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$47000 = 5 x + 6 y + 2 z$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $5 x + 6 (\frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$ um.

$5 x + 6 (\frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache $5 x + 6 (\frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}) + 2 z$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 6 (\frac{41000}{3}) + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$5 x + 3 (2) (\frac{41000}{3}) + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 3 \cdot (2 (\frac{41000}{3})) + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x + 2 \cdot 41000 + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$5 x + 2 \cdot 41000 + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $41000$ .

$5 x + 82000 + 6 (- \frac{5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{3}$ in den Zähler.

$5 x + 82000 + 6 (\frac{- 5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$5 x + 82000 + 3 (2) (\frac{- 5 x}{3}) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 82000 + 3 \cdot (2 (\frac{- 5 x}{3})) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$5 x + 82000 + 2 (- 5 x) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$5 x + 82000 + 2 (- 5 x) + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$5 x + 82000 - 10 x + 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 z}{3}$ in den Zähler.

$5 x + 82000 - 10 x + 6 (\frac{- 2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$5 x + 82000 - 10 x + 3 (2) (\frac{- 2 z}{3}) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 82000 - 10 x + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 z}{3})) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$5 x + 82000 - 10 x + 2 (- 2 z) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$5 x + 82000 - 10 x + 2 (- 2 z) + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$5 x + 82000 - 10 x - 4 z + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$5 x + 82000 - 10 x - 4 z + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$5 x + 82000 - 10 x - 4 z + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $10 x$ von $5 x$ .

$- 5 x + 82000 - 4 z + 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 4 z$ und $2 z$ .

$- 5 x + 82000 - 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$- 5 x + 82000 - 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$- 5 x + 82000 - 2 z = 47000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$82000 - 2 z = 47000 + 5 x$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $82000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 z = 47000 + 5 x - 82000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $82000$ von $47000$ .

$- 2 z = 5 x - 35000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$- 2 z = 5 x - 35000$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 z = 5 x - 35000$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 z = 5 x - 35000$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{5 x}{2} + \frac{- 35000}{- 2}$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Dividiere $- 35000$ durch $- 2$ .

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 z}{3}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{41000}{3} - \frac{5 x}{3} - \frac{2 (- \frac{5 x}{2} + 17500)}{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{41000 - 5 x - 2 (- \frac{5 x}{2} + 17500)}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{41000 - 5 x - 2 (- \frac{5 x}{2}) - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{41000 - 5 x - 2 \frac{- 5 x}{2} - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{41000 - 5 x + 2 (- 1) (\frac{- 5 x}{2}) - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{41000 - 5 x + 2 \cdot (- 1 \frac{- 5 x}{2}) - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{41000 - 5 x - 1 (- 5 x) - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000 - 5 x - 1 (- 5 x) - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = \frac{41000 - 5 x + 5 x - 2 \cdot 17500}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $17500$ .

$y = \frac{41000 - 5 x + 5 x - 35000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000 - 5 x + 5 x - 35000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $41000 - 5 x + 5 x - 35000$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$y = \frac{41000 + 0 - 35000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.3.1.2

Addiere $41000$ und $0$ .

$y = \frac{41000 - 35000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = \frac{41000 - 35000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.3.2.1

Subtrahiere $35000$ von $41000$ .

$y = \frac{6000}{3}$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

Schritt 3.1.3.2.2

Dividiere $6000$ durch $3$ .

$y = 2000$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = 2000$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = 2000$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = 2000$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$

$y = 2000$

$z = - \frac{5 x}{2} + 17500$