Analysis Beispiele

$\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{x^{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \int x^{- 5} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{6}{x} d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 12

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - (6 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 13

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - 6 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{2}{x} - 6 \ln (| x |) + C$