Analysis Beispiele

$3 x - \tan (y) = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x - \tan (y)) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - \tan (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (y)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \tan (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$3 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 - (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 - \sec^{2} (y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- \sec^{2} (y) y' + 3$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sec^{2} (y) y' + 3 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \sec^{2} (y) y' + 3$ um.

$- y' \sec^{2} (y) + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sec^{2} (y) = - 3$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- y' \sec^{2} (y) = - 3$ durch $- \sec^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' \sec^{2} (y) = - 3$ durch $- \sec^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \sec^{2} (y)}{- \sec^{2} (y)} = \frac{- 3}{- \sec^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{- 3}{- \sec^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{- 3}{- \sec^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3}{- \sec^{2} (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{3}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{\sec^{2} (y)}$