Analysis Beispiele

$\sum_{0}^{10} x^{2}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $x$ gleich $1$ ist.

$\sum_{0}^{10} x^{2} = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} + \sum_{x = 0}^{0} x^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $55$ mit $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere $1155$ durch $3$ .

$385$

Schritt 3

Berechne $\sum_{x = 0}^{0} x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $x$ .

$0^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $0$ mit $2$ .

$0$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$385 + 0$

Schritt 5

Addiere $385$ und $0$ .

$385$