Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} 4 x + 3 & x \leq - 2 \\ x - 2 & x > - 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $x - 2$ , wenn sich $x$ von rechts $- 2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to {(- 2)}^{+}} x - 2$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$lim_{x \to {(- 2)}^{+}} x - lim_{x \to {(- 2)}^{+}} 2$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$lim_{x \to {(- 2)}^{+}} x - 1 \cdot 2$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 2$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4$

Schritt 2

Berechne $4 x + 3$ bei $- 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$4 (- 2) + 3$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 + 3$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 8$ und $3$ .

$- 5$

Schritt 3

Da die Grenze von $x - 2$ bei Annäherung von $x$ an $- 2$ von rechts nicht gleich dem Funktionswert bei $x = - 2$ ist, ist die Funktion bei $x = - 2$ nicht stetig.

Nicht stetig

Schritt 4