Analysis Beispiele

$\int (x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt{x} - 3) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt{x} - 3 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

Schritt 4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 3 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 3 x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + 5 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 3 x + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} - 3 x + C$