Analysis Beispiele

$y = {(x^{3} + 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$2 (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 (x^{3} + 1) x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{3} + 6 \cdot 1) x^{2}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} x^{2} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{3}) + 6 \cdot 1 x^{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{2 + 3} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Schritt 3.3.3.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$6 x^{5} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 x^{5} + 6 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 6 x^{5} + 6 x^{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{5} + 6 x^{2}$