Analysis Beispiele

$y = {(\frac{x}{x + 1})}^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 1})}^{5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{x + 1}$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.5

Kombiniere $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ und $5$ .

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{x + 1}$ an.

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{{(x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Multipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit ${(x + 1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2 + 4}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$