Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 - 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Stelle $10$ und $- 6 x^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 6 x^{2} + 10}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Schritt 1.1.2.2

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Schritt 1.1.3.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $3$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $3$ entfernt.

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{- \infty}{5 + \infty}$

Schritt 1.1.3.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $12 x$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 3 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 e^{x}}$

Schritt 1.3.9

Addiere $0$ und $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{3 e^{x}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 (e^{x})}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{e^{x}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $- 4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$- 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 3.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{x}}$ $0$ .

$- 4 \cdot 0$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0$