Analysis Beispiele

$\int_{- π}^{π} (π^{2} + 2 x) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- π}^{π} π^{2} + 2 x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- π}^{π} π^{2} d x + \int_{- π}^{π} 2 x d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$π^{2} x]_{- π}^{π} + \int_{- π}^{π} 2 x d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 \int_{- π}^{π} x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- π}^{π})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- π}^{π})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $π^{2} x$ bei $π$ und $- π$ .

$(π^{2} π) - π^{2} (- π) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- π}^{π})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $π$ und $- π$ .

$π^{2} π - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere $π^{2}$ mit $π$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1.1

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $π$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$π^{2} π^{1} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π^{2 + 1} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$π^{3} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π^{3} + 1 π^{2} π + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$π^{3} + π^{2} π + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.4

Multipliziere $π^{2}$ mit $π$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.3.4.1

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $π$ .

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Schritt 6.2.3.4.1.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$π^{3} + π^{2} π^{1} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π^{3} + π^{2 + 1} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$π^{3} + π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.5

Addiere $π^{3}$ und $π^{3}$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- π$ heraus.

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- (π))}^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.7

Wende die Produktregel auf $- (π)$ an.

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} π^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{1 π^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 π^{3} + 2 \frac{π^{2} - π^{2}}{2}$

Schritt 6.2.3.11

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2}$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{0}{2})$

Schritt 6.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 π^{3} + 2 \frac{2 (0)}{2}$

Schritt 6.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 π^{3} + 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π^{3} + 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 π^{3} + 2 (\frac{0}{1})$

Schritt 6.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 π^{3} + 2 \cdot 0$

Schritt 6.2.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 π^{3} + 0$

Schritt 6.2.3.14

Addiere $2 π^{3}$ und $0$ .

$2 π^{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 π^{3}$

Dezimalform:

$62.01255336 \dots$

Schritt 8