Analysis Beispiele

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $θ$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $\sqrt{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{0}{\sqrt{2} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Multipliziere $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.1.3.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{0}{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\frac{2^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{0}{\frac{2}{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1} = lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = 2 θ$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 θ$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{2} \cos (θ) - 1$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $\sqrt{2}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{2} \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Schritt 1.3.8.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + 0}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache.

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Schritt 1.3.10.1

Addiere $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ und $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ))}$

Schritt 1.3.10.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ um.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{- \sqrt{2} \sin (θ)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{- 2}{\sqrt{2}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 θ)}{- \sin (θ)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (θ)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $θ$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.7.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \sqrt{2} \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sqrt{2} (- \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 4.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{2} (- (1 \frac{2}{\sqrt{2}}))$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$- \sqrt{2} (- \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 4.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ in den Zähler.

$- \sqrt{2} \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.10.2

Faktorisiere $\sqrt{2}$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.10.4

Forme den Ausdruck um.

$- - 2$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2$