Analysis Beispiele

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 5.3.2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Schritt 5.3.2.1.3.6.5

Vereinfache.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Schritt 5.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ und $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$