Analysis Beispiele

$\int (\sqrt{x^{3}} - \frac{5}{\sqrt{x}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \sqrt{x^{3}} - \frac{5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{x^{3}} d x + \int - \frac{5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (5 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 5 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$