Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{4 x^{8} + 7 x^{5}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $4 x^{8} + 7 x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $4 x^{8}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3}) + 7 x^{5}}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $7 x^{5}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3}) + x^{5} \cdot 7}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} (4 x^{3}) + x^{5} \cdot 7$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3} + 7)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{5} (4 x^{3} + 7)$ als ${(x^{2})}^{2} (x (2^{2} x^{3} + 7))$ um.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{4} x (4 x^{3} + 7)}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x (4 x^{3} + 7)}}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x (2^{2} x^{3} + 7)}}$

Schritt 1.2.4

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} (x (2^{2} x^{3} + 7))}}$

Schritt 1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{x^{2} \sqrt{x (2^{2} x^{3} + 7)}}$

Schritt 1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Schritt 3.1.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{x (4 x^{3}) + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.3

Stelle um.

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Schritt 3.2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x \cdot x^{3} + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x \cdot x^{3} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 (x^{3} x) + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 (x^{3} x^{1}) + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{3 + 1} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{4} + 7 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 4 x^{3} + 7 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 4 x^{3} + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{3}) + x \cdot 7$ heraus.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x^{4}}}}{1}}$

Schritt 8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{1}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 9.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 10

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 12

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{1}}}{1}}$

Schritt 13.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.3.1

Dividiere $4 + 7 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}{1}}$

Schritt 13.3.2

Dividiere $\sqrt{4 + 7 \cdot 0}$ durch $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$\frac{2 + 0}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.3.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 0}}$

Schritt 13.3.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4}}$

Schritt 13.3.4.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 13.3.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{2}$

Schritt 13.3.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$1$