Analysis Beispiele

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- \frac{5}{2}} d x + \int 2 x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 \int x d x + \int 4 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + x^{2} + 4 x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + x^{2} + 4 x + C$