Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.5.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.8.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3.8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (- \sin (x) - \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$(- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.4.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 12.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 12.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 12.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 12.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 12.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 12.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 12.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Schritt 12.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Schritt 12.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Schritt 12.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 12.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 12.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 12.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$