Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.6.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.6.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (2 y)$ heraus.

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4.6.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 2 y) + x (- x y')$ heraus.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 y y'$ und $0$ .

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Bewege $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Stelle $2 x y$ und $- y' x^{2}$ um.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Forme um.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Schritt 5.3.1.3

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Schritt 5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Schritt 5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 5.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Schritt 5.3.1.4.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 5.3.1.4.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Schritt 5.3.1.4.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Schritt 5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Schritt 5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.6.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.6.1.1

Bewege $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Schritt 5.3.1.6.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Schritt 5.3.1.6.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.6.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Schritt 5.3.1.6.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.3.1.6.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Schritt 5.3.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Schritt 5.3.1.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Schritt 5.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Schritt 5.3.2

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.3

Addiere $y' x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' x^{2}$ heraus.

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{2} y' x$ heraus.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 y^{3} y'$ heraus.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ heraus.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ heraus.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.4.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ heraus.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ durch $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ durch $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y + x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x \cdot x$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$