Analysis Beispiele

$y = {\cos (x)}^{x}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $\ln (\cos (x))$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.7.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.2.3

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{x}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.7.3.1

Separiere Brüche.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.3.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2.7.3.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $x$ .

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.3

Kombiniere ${\cos (x)}^{x}$ und $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (x)}^{x}$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ heraus.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.4.2.4

Dividiere ${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ durch $1$ .

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ um.

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$