Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{16 x^{4} - 5 x^{2}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{4} - 5 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) - 5 x^{2}}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2} - 5)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} ({(4 x)}^{2} - 5)}}$

Schritt 1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{{(4 x)}^{2} - 5}}$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{4^{2} x^{2} - 5}}$

Schritt 1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Schritt 5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{1}}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 6.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 6.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 6.7

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 6.8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{1}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Dividiere $- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}$ durch $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{5 + 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 + 0}}$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16}}$

Schritt 8.2.3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5}{- \sqrt{4^{2}}}$

Schritt 8.2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{- 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{5}{- 4}$

Schritt 8.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$- 1.25$