Analysis Beispiele

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{3 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (x) d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} \int e^{3 x} (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Schritt 8

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 8.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Schreibe $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ als $\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ um.

$\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Schritt 13.2.6

Um $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 13.2.7

Kombiniere $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 13.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.12.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9})}{3} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$

Schritt 16

Schreibe $\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$ als $\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$ um.

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Um $x^{2} e^{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + x^{2} e^{3 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.2

Kombiniere $x^{2} e^{3 x}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9 + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2} e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 \cdot (x^{2} e^{3 x}) + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.6

Um $- \frac{2 x e^{3 x}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 17.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x e^{3 x} \cdot 3 + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

Schritt 17.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

Schritt 17.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}$ .

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{3 \cdot 9} + C$

Schritt 17.11

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{27} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{27} (- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}) + C$