Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{10} + 8 x^{7}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{10} + 8 x^{7}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{10}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + 8 x^{7}}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{7}$ aus $8 x^{7}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 8)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 2^{3})}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ als ${(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))$ um.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{6} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Schritt 1.5.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Schritt 1.5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

Schritt 1.5.4

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Schritt 1.5.5

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Schritt 1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

Schritt 1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{5}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x \cdot x + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + 2 \cdot x) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Schritt 4

Multipliziere $(x^{2} + 2 x) (x^{2} - 2 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4$ .

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Schritt 5.1.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} (- 2 x)$ und $2 x \cdot x^{2}$ neu an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 2 x^{2} x + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.1.2

Addiere $- 2 x^{2} x$ und $2 x^{2} x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 0 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.1.3

Addiere $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x$ .

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Schritt 5.1.3.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 0 + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.3.2

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 8 x$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + 8 x}}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 8}}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot 8$ heraus.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 8)}}{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 2^{3})}}{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}}{x^{2}}}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}{x^{2}}}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{1}}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{1}}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 9.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 9.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 10.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 10.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x + 4) + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.6

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 10.1.2.6.1

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.6.2

Stelle $x$ und $4$ um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.9

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x^{1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 10.1.2.13.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.13.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.2.3

Bewege $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.2.4

Bewege $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.5

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.13.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.2.14

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.3

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.2

Da $\frac{- \infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 10.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 10.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x^{2} - 2 x + 4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 4] + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.9

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.14

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x + 4$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15

Vereinfache.

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Schritt 10.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4

Vereine die Terme

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Schritt 10.3.15.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x^{1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.6

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot x + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.8

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.9

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.10

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0 - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.11

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.12

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.15.4.13

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{1}}$

Schritt 11.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.1

Dividiere $- \sqrt{1}$ durch $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{- \sqrt{1}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1}}$

Schritt 11.3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1}}$

Schritt 11.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 11.3.5

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- 1$