Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 2

Multipliziere $(3 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 (x^{- 2} x^{2}) - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{2} 3 x^{- 2 + 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.1.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Vereinfache $3 x^{0}$ .

$\int_{0}^{2} 3 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.3

Schreibe $- 1 x^{- 2}$ als $- x^{- 2}$ um.

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 3 d x + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$3 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$3 x]_{0}^{2} - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $3 x$ bei $2$ und $0$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot 0 - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Schritt 8.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $0$ .

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$6 + 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Addiere $6$ und $0$ .

$6 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + 0^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Schritt 8.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Schritt 8.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Schritt 9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert