Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{9 x^{4} + 7 x^{3}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $9 x^{4} + 7 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x) + 7 x^{3}}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $7 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x) + x^{3} \cdot 7}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (9 x) + x^{3} \cdot 7$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x + 7)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{3} (9 x + 7)$ als $x^{2} (x (3^{2} x + 7))$ um.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} x (9 x + 7)}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} x (3^{2} x + 7)}}$

Schritt 1.2.3

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} (x (3^{2} x + 7))}}$

Schritt 1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{x \sqrt{x (3^{2} x + 7)}}$

Schritt 1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{x \sqrt{x (9 x + 7)}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x (9 x + 7)}}{x}}$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x (9 x) + x \cdot 7}}{x}}$

Schritt 3.2.1.3

Stelle um.

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Schritt 3.2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x \cdot x + x \cdot 7}}{x}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x \cdot x + 7 \cdot x}}{x}}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 (x \cdot x) + 7 \cdot x}}{x}}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 \cdot x}}{x}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2} + 7 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 9 x + 7 x}}{x}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 9 x + x \cdot 7}}{x}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x) + x \cdot 7$ heraus.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (9 x + 7)}}{x}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x^{2}}}}{1}}$

Schritt 8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x \cdot x}}}{1}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x \cdot x}}}{1}}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{1}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 9.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 9.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 10

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.1.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 11.6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 12

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{1}}}{1}}$

Schritt 13.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.3.1

Dividiere $9 + 7 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}{1}}$

Schritt 13.3.2

Dividiere $- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}$ durch $1$ .

$\frac{6 - 0}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Schritt 13.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.3.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9 + 0}}$

Schritt 13.3.4.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9}}$

Schritt 13.3.4.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{6}{- \sqrt{3^{2}}}$

Schritt 13.3.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6}{- 1 \cdot 3}$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6}{- 3}$

Schritt 13.3.6

Dividiere $6$ durch $- 3$ .

$- 2$