Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{6} - x^{2}}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{6} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{6}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (16 x^{4}) - x^{2}}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (16 x^{4}) + x^{2} \cdot - 1}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (16 x^{4}) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (16 x^{4} - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $16 x^{4}$ als ${(4 x^{2})}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(4 x^{2})}^{2} - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(4 x^{2})}^{2} - 1^{2})}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2}$ und $b = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ((4 x^{2} + 1) (4 x^{2} - 1))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ((4 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ((4 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1^{2}))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ((4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{2} (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)$ als $x^{2} (({(2 x)}^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1))$ um.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(2 x)}^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(2 x)}^{2} + 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (({(2 x)}^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1))}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{({(2 x)}^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{(2^{2} x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{6 x^{3} + x^{2}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{x^{3}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)})}{x^{3}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)})}{x \cdot x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{x \cdot x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Multipliziere $(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 \cdot 2 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 \cdot 2 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(4 \cdot 2 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(8 x^{3} + 4 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(8 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{(8 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Multipliziere $(8 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x \cdot - 1$ und $1 (2 x)$ neu an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.1.2

Addiere $- 1 \cdot 2 x$ und $1 \cdot 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.1.3

Addiere $8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x)$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 x^{3} (2 x) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 \cdot 2 x^{3} x + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 \cdot 2 x^{1 + 3} + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{8 \cdot 2 x^{4} + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} + 8 x^{3} \cdot - 1 + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} (2 x) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.6.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 1 + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.10.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 1$ .

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Schritt 7.3.1

Addiere $- 8 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3.2

Addiere $16 x^{4}$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} + 0 - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3.4

Addiere $16 x^{4}$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{16 x^{4} - 1}}{x^{2}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{4} - 1}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Schreibe $16 x^{4}$ als ${(4 x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(4 x^{2})}^{2} - 1}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(4 x^{2})}^{2} - 1^{2}}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} - 1)}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.4

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Schritt 9.4.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1)}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 11.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 11.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 11.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 12.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 12.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (4 x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (4 x^{2} \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (4 x^{2} \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (4 x^{2} \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1) (2 x - 1) + (1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x (2 x - 1) + 4 x^{2} \cdot 1 (2 x - 1) + (1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 (2 x - 1) + (1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + (1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x (2 x - 1) + 1 \cdot 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 x^{2} x \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.2

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 x^{2} \cdot 2 x \cdot x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.3

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 x^{2} \cdot 2 x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.4

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 x^{2} x \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.5

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 x^{2} \cdot - 1 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.6

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.7

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 x^{2} \cdot 2 x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.8

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.9

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 x^{2} \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.10

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.11

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.12

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 \cdot 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.13

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 8 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.11.14

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{2} x^{1} x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{2 + 1} x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.14

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{3} x + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{3} x^{1} + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{3 + 1} + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.17

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} + 4 \cdot 2 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.18

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} + 8 \cdot - 1 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.19

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{2} x^{1} + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{2 + 1} + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.22

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 1 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.23

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 4 \cdot 2 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.24

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} x + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.25

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} x^{1} + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2 + 1} + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.27

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.27.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} + 4 \cdot 1 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.27.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.27.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.28

Addiere $- 8 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.29

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.29.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.29.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.29.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x \cdot x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.30

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{1} x + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.31

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{1} x^{1} + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.33.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.33.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.1.2.33.2.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2.3.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.5

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.33.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 x^{4} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.2.34

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{4}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.3

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{4}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 12.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 12.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = (4 x^{2} + 1) (2 x + 1)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(4 x^{2} + 1) (2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 1) (2 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.10

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} + 1$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) (2 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.16

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) ((4 x^{2} + 1) \cdot 2 + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.18

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.19

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) (4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.21

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) (8 x + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.22

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) (8 x + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.23

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + (2 x + 1) \cdot 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.24

Bringe $8$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (4 x^{2} + 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + 8 \cdot (2 x + 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25

Vereinfache.

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Schritt 12.3.25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 (4 x^{2} + 1) + 8 (2 x + 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1 + 8 (2 x + 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1 + (8 \cdot 2 x + 8 \cdot 1) x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2 \cdot 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 4 x^{2} + 2 \cdot 1 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 \cdot 1 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x \cdot x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x^{1} x + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x^{1} x^{1} + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x^{1 + 1} + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x^{2} + 8 \cdot 1 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.14

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (8 x^{2} + 2 + 16 x^{2} + 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.15

Addiere $8 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.16

Faktorisiere $1$ aus $(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.16.1

Faktorisiere $1$ aus $(8 x^{2} + 2) (2 x + 1)$ heraus.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 (8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.16.2

Faktorisiere $1$ aus $(2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)$ heraus.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 (8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + 1 (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.16.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((8 x^{2} + 2) (2 x + 1)) + 1 ((2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x))$ heraus.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 ((8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.17

Mutltipliziere $(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(8 x^{2} + 2) (2 x + 1) + (2 x - 1) (24 x^{2} + 2 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.18

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (8 x^{2} + 2) + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.1

Multipliziere $(2 x + 1) (8 x^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x (8 x^{2} + 2) + 1 (8 x^{2} + 2) + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \cdot 8 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (8 x^{2} + 2) + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \cdot 8 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 8 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 8 x^{2} x + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 8 x^{2} x^{1} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 8 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 8 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 1 \cdot 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.5

Mutltipliziere $8 x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 1 \cdot 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + (24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.3

Multipliziere $(24 x^{2} + 2 + 8 x) (2 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 x^{2} \cdot 2 x + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 \cdot 2 x^{2} x + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.19.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 \cdot 2 x^{1} x^{2} + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 \cdot 2 x^{1 + 2} + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 24 \cdot 2 x^{3} + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.3

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} + 24 x^{2} \cdot - 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x + 2 \cdot - 1 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x - 2 + 8 x \cdot 2 x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x - 2 + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.8

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x - 2 + 8 \cdot 2 x^{2} + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.9

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x - 2 + 16 x^{2} + 8 x \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 24 x^{2} + 4 x - 2 + 16 x^{2} - 8 x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.5

Addiere $- 24 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 2 - 8 x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.19.6

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{3} + 4 x + 8 x^{2} + 2 + 48 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.25.20.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 2 + 48 x^{3} + 0 - 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20.2

Addiere $16 x^{3} + 4 x + 2 + 48 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 4 x + 2 + 48 x^{3} - 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20.3

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 2 + 48 x^{3} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20.4

Addiere $16 x^{3} + 2 + 48 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 2 + 48 x^{3} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 48 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.20.6

Addiere $16 x^{3} + 48 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3} + 48 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.25.21

Addiere $16 x^{3}$ und $48 x^{3}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{64 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.3.26

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{64 x^{3}}{4 x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4

Vereinfache.

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Schritt 12.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $4$ .

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Schritt 12.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 \cdot 16 x^{3}}{4 x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 \cdot 16 x^{3}}{4 (x^{3})}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 \cdot 16 x^{3}}{4 x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 12.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 12.4.2.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{\frac{- \sqrt{16}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{\frac{- \sqrt{16}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Schritt 13.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{\frac{- \sqrt{16}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 6 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 13.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{\frac{- \sqrt{16}}{1}}{6 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 14

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{16}}{1}}{6 + 0}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Dividiere $- \sqrt{16}$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{16}}{6 + 0}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{4^{2}}}{6 + 0}$

Schritt 15.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1 \cdot 4}{6 + 0}$

Schritt 15.3

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{6}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4}{6}$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 15.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{6}$

Schritt 15.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 15.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$