Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{12 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 lim_{x \to - 1} x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{12 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{- 12 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 12 + 12 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Addiere $- 12$ und $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} + 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - (2 x)}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $36$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{36 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $24$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 2.8

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1$ und $4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $36 {(- 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $24 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $4 {(- 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Schritt 4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Schritt 4.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 18 \cdot 1 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$\frac{- 18 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$\frac{- 18 + 12}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 18$ und $12$ .

$\frac{- 6}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{- 2 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6}{2 - 1}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{- 6}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$- 6$