Analysis Beispiele

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ als $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ um.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 3.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Schritt 3.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.5

Subtrahiere $\cos (θ)$ von $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 3.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{- 2}$ und $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 3.1.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 3.1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 3.1.3.7

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.8.1

Stelle die Faktoren von $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 3.1.3.8.7

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Schritt 3.1.3.8.8

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Schritt 3.1.3.8.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (θ)$ .

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Schritt 3.1.3.8.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ in den Zähler.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.10.2

Faktorisiere $\cos^{2} (θ)$ aus $\cos^{3} (θ)$ heraus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.10.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.3.8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Schritt 3.1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 3.1.5.3

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Schritt 3.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (θ)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Schritt 3.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Schritt 3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Schritt 5.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Schritt 5.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Schritt 5.1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.5

Subtrahiere $\cos (θ)$ von $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Schritt 5.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{- 2}$ und $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Schritt 5.1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 5.1.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 5.1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Schritt 5.1.3.7

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.8.1

Stelle die Faktoren von $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Schritt 5.1.3.8.7

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Schritt 5.1.3.8.8

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Schritt 5.1.3.8.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (θ)$ .

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Schritt 5.1.3.8.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ in den Zähler.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.10.2

Faktorisiere $\cos^{2} (θ)$ aus $\cos^{3} (θ)$ heraus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.10.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.3.8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Schritt 5.1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 5.1.5.3

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Schritt 5.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (θ)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Schritt 5.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 5.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.4.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Schritt 5.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$