Analysis Beispiele

$\sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x) - \sin (y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- \sin (y) y' + \cos (x)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (y) y' + \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (y) y' + \cos (x)$ um.

$- y' \sin (y) + \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ um.

$- y' \sin (y) + \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5.3

Addiere $y' \sin (x) \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (y) + \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5.4

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $- y' \sin (y)$ heraus.

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $y' \sin (x) \sin (y)$ heraus.

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ heraus.

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$ durch $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - \cos (x)$ durch $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 + \sin (x)$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.2

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.6.3.1.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.5

Multipliziere $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Schritt 5.6.3.1.5.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.5.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ und $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.1.6

Separiere Brüche.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.6.3.1.7

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.6.3.1.8

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.6.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 5.6.3.1.9.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.6.3.1.9.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 5.6.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 5.6.3.1.11

Multipliziere $- \frac{1}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Schritt 5.6.3.1.11.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

Schritt 5.6.3.1.11.2

Kombiniere $\csc (y)$ und $\frac{\cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.6.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2.2

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - \csc (y) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.6.3.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2.2.2

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $- \csc (y) \cos (x)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 1)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2.2.3

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.6.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 1)}{1 - \sin (x)}$