Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Schritt 1.1.3.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 1.3.8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.9.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ heraus.

$- 2 \frac{1}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

Schritt 4.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \sqrt{2}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.41421356 \dots$