Analysis Beispiele

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cot (x) (- \csc^{2} (x))$ und $\cot (x) \csc^{2} (x)$ neu an.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ und $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + 0}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Addiere $1 (- \csc^{2} (x))$ und $0$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $- \csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$