Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Teile das Integral bei $0$ und schreibe es als Summe von Grenzwerten.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Berechne $\arctan (x)$ bei $0$ und $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Schritt 7

Berechne $\arctan (x)$ bei $t$ und $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $\arctan (0)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Schritt 8.3

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $- \infty$ nähert, ist $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Schritt 8.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Schritt 8.5

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $\infty$ nähert, ist $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Schritt 8.6

Berechne den Grenzwert von $\arctan (0)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Schritt 8.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.1.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Schritt 8.7.1.2

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Schritt 8.7.1.3

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Schritt 8.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Schritt 8.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π}{2}$

Schritt 8.7.3

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$π$

Dezimalform:

$3.14159265 \dots$