Analysis Beispiele

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 4

Sei $u = - \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{3} d x$ , folglich $- 3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 4.1.2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - \frac{x}{3}$ ein.

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - \frac{x}{3}$ ein.

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 8

Das Integral von $2^{u}$ nach $u$ ist $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ bei $- 2$ und $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Schritt 12.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $6$ und $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.3

Schreibe $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ als ein Produkt um.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 12.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.8.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 12.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 12.3.11

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

Schritt 12.3.12

Addiere $18$ und $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

Schritt 12.3.13

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

Schritt 12.3.14

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

Schritt 12.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Schritt 13.2

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{4 \ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Schritt 13.3

Multipliziere $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ .

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Schritt 13.3.2

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Schritt 13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Dezimalform:

$12.63031921 \dots$

Schritt 15