Analysis Beispiele

$y = x^{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $x^{x^{\frac{1}{2}}}$ als $e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}]$

Schritt 4.1.2

Zerlege $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ durch Herausziehen von $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.14

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.15

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.16

Vereinfache.

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Schritt 4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.16.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.16.2.1

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.16.2.2

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ und $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$