Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & x < 2 \\ a x^{2} - b x + 3 & 2 \leq x < 3 \\ 4 x - a + b & x \geq 3 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , wenn sich $x$ von links $2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Schritt 1.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.2.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.2.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + 0}$

Schritt 1.2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1}$

Schritt 1.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 2 x$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 2^{-}} x$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 2

Berechne $a x^{2} - b x + 3$ bei $2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$a {(2)}^{2} - b \cdot 2 + 3$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a \cdot 4 - b \cdot 2 + 3$

Schritt 2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 \cdot a - b \cdot 2 + 3$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 a - 2 b + 3$

Schritt 3

Da die Grenze von $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4