Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} - 3 x - 1 & x < - 1 \\ - x + 1 & x \geq - 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $- 3 x - 1$ , wenn sich $x$ von links $- 1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to {(- 1)}^{-}} - 3 x - 1$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- lim_{x \to {(- 1)}^{-}} 3 x - lim_{x \to {(- 1)}^{-}} 1$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 3 lim_{x \to {(- 1)}^{-}} x - lim_{x \to {(- 1)}^{-}} 1$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- 3 lim_{x \to {(- 1)}^{-}} x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 - 1$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2$

Schritt 2

Berechne $- x + 1$ bei $- 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$- (- 1) + 1$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 3

Da die Grenze von $- 3 x - 1$ bei Annäherung von $x$ an $- 1$ von links gleich dem Funktionswert bei $x = - 1$ ist, ist die Funktion bei $x = - 1$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4