Analysis Beispiele

$\sin (x) + 2 \cos (2 y) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) + 2 \cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + 2 \cos (2 y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 y)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$ .

$\cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x) + 2 (- \sin (2 y) (2 y'))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 y) y')$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\cos (x) - 4 \sin (2 y) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 4 \sin (2 y) y' + \cos (x)$ um.

$- 4 y' \sin (2 y) + \cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ durch $- 4 \sin (2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y' \sin (2 y) = - \cos (x)$ durch $- 4 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y' \sin (2 y)}{- 4 \sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (2 y)}{\sin (2 y)} = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{- 4 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{- 1}{- 4} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (2 y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)})$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \frac{1}{\sin (2 y)})$

Schritt 5.3.3.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 y)}$ nach $\csc (2 y)$ um.

$y' = \frac{- 1}{- 4} (\cos (x) \csc (2 y))$

Schritt 5.3.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$

Schritt 5.3.3.6

Multipliziere $\frac{1}{4} (\cos (x) \csc (2 y))$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{4} \csc (2 y)$

Schritt 5.3.3.6.2

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{4}$ und $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \csc (2 y)}{4}$