Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Schritt 3

Schreibe $\cot (x) \ln (1 + x)$ als $\frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 4.1.3.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Schritt 4.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Schritt 4.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Schritt 4.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 4.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Schritt 4.1.3.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Terme um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.9

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Schritt 4.3.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.11

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.12

Vereinfache.

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Schritt 4.3.12.1

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.12.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.13

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.14

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.15

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.16

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.18

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.19

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.21

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.22

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.23

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.25

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.26.1

Ordne Terme um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.26.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cos^{2} (x)}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{x + 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{0 + 1}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{\frac{1^{2}}{0 + 1}}$

Schritt 7.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Schritt 7.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$e^{1}$

Schritt 8

Vereinfache.

$e$