Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $16 x^{4} - 8 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.2

Schreibe $8 x^{2} (2 x^{2} - 1)$ als ${(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 (2) x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.2.3

Bewege $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $2^{2} x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.2.5

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))}}{x^{2} - 2}$

Schritt 1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} + 2 (- 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Dividiere $2 - 0$ durch $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Dividiere $- \sqrt{2 (2 - 0)}$ durch $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 (2 - 0)})}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 - 2 \cdot 0}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 + 0}$

Schritt 11.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 + 0)}}{1}$

Schritt 11.5.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 \cdot 2}}{1}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4}}{1}$

Schritt 11.5.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2}}}{1}$

Schritt 11.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2 \cdot 2}{1}$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{1}$

Schritt 11.7

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$- 4$