Analysis Beispiele

$P (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{9} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Schritt 1.3.6

Kombiniere $\frac{- 12}{9}$ und $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Schritt 1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $9$ .

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Schritt 1.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Schritt 1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Schritt 1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Schritt 1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$P'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$P'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{9}$ .

$P'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$P'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{12}{9}$ und $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x^{2}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{3}$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{- 8}{3}$ und $x$ .

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- \frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{9} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Schritt 4.1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Schritt 4.1.3.6

Kombiniere $\frac{- 12}{9}$ und $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Schritt 4.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $9$ .

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Schritt 4.1.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Schritt 4.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Schritt 4.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Schritt 4.1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $P (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ mit $9$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ mit $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x^{2}}{3}$ in den Zähler.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $9$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ heraus.

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Schritt 5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 5.5

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{3}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{3}$

Schritt 9.3.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$P' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$P' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$P' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.2.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

Schritt 10.2.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Um $- \frac{16}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 10.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$P' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Schritt 10.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

Schritt 10.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$P' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

Schritt 10.2.2.5.2

Subtrahiere $48$ von $- 32$ .

$P' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

Schritt 10.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P' (- 2) = - \frac{80}{9}$

Schritt 10.2.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 3)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$P' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$P' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$P' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Schritt 10.3.2.2

Um $- \frac{16}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 10.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$P' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Schritt 10.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

Schritt 10.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$P' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

Schritt 10.3.2.5.2

Subtrahiere $48$ von $32$ .

$P' (2) = \frac{- 16}{9}$

Schritt 10.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P' (2) = - \frac{16}{9}$

Schritt 10.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$P' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$P' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Schritt 10.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$P' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Schritt 10.4.2.1.3

Dividiere $864$ durch $9$ .

$P' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Schritt 10.4.2.1.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$P' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

Schritt 10.4.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$P' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

Schritt 10.4.2.1.6

Dividiere $144$ durch $3$ .

$P' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

Schritt 10.4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$P' (6) = 96 - 48$

Schritt 10.4.2.2

Subtrahiere $48$ von $96$ .

$P' (6) = 48$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = 3$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 3$ ein lokales Minimum.

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11